負の数の表現

２進表記で負の数を表すのは、十進表記に合わせれば当然マイナスの符号を付けるだけ。

-1,  -11,  -1010

これをコンピュータ内部でどう表すかは何通りかのやり方があります。

整数の計算をする時には、ここで説明する「２の補数」をとるのが便利。

限界を超えた足し算

負の数を考える前に正の数に１を加えていって計算機の限界を超える場合を考えてみる。

2進４桁の計算機に0から始めて１を足していく。

1111に1を足すと10000になるが、４桁しかない計算機だとこれを表現できない。

４桁目からでるキャリーを検出したらエラーとして処理する設計もあり得るが、もし無視をすれば次のように続くことになる。

4桁しかなくて、キャリーを無視すれば０に戻って1,2,3,...と繰り返すことになる。当然(無視した)16を足せば正しい値になる。

２の補数による負の整数の表現

１を足して限界をこえると０に戻った。これを逆に考えると１を減じていくと０の次は－１ということになる

しかし、このままでは1111が15でもあり-1でもありで不都合なので最高位のビットが１なら負の数とする。つまり、

と決めるのが、２の補数による負の整数の表現である。

もちろん、これは４ビットの場合で、８ビットならば

となる。

この決め方に加えて、上で行った桁数の限界を超えたキャリーは無視するという方法をとると、正の数＋負の数もそのまま計算してしまえばよい。

試してみる

2 + 4
6 + (-3)
-4 + 4
-3 + (-5)

他の方法

負の数を表す方法のいろいろ。

補数による表現はコンピュータでの計算に便利なようになっている。「符号をつけるだけ」は最上位ビットが１ならば負の数と決め、値は最上位ビットを除いて絶対値で表現する。エクセス７はすべての数に７を足して符号無しの表現をする。７は正の範囲と負の範囲が同じになるようにしたもので、８ビットならば15などとする。